Nguyên lý tương đối trong cơ học Newton nói rằng các hiện tượng cơ học đều xảy ra như nhau trong mọi hệ qui chiếu quán tính nhưng không nói rõ các hiện tượng khác như là nhiệt, điện, từ có xảy ra như nhau trong mọi hệ qui chiếu quán tính? Theo phần điện từ trường ta thấy tương tác từ xảy ra chủ yếu là do dòng điện tức là do chuyển động của các hạt mang điện. Như vậy có thể trong các hệ qui chiếu quán tính khác nhau các hiện tượng điện từ sẽ xảy ra khác nhau. Nhiều thí nghiệm được thực hiện với các hệ qui chiếu quán tính khác nhau với mục đích tìm ra một hệ qui chiếu quán tính mà ở đó tốc độ ánh sáng khác hẳn với tốc độ ánh sáng trong các hệ qui chiếu quán tính khác. Nhưng những thí nghiệm đó không đạt được kết qủa.
Năm 1905 Einstein phát biểu nguyên lý tương đối về sự bình đẳng của các hệ qui chiếu quán tính cụ thể bằng hai tiên đề sau:
Tiên đề 1: Mọi hiện tượng Vật lý (Cơ, nhiệt, điện, từ ...) đều xảy ra như nhau trong các hệ qui chiếu quán tính.
Ðiều nầy cho thấy các phương trình mô tả các hiện tượng tự nhiên đều có cùng dạng như nhau trong các hệ qui chiếu quán tính.
Tiên đề 2: Tốc độ ánh sáng trong chân không là một đại lượng không đổi trong tất cả các hệ qui chiếu quán tính và có giá trị bằng: 299792458 m/s (thường dùng gọn là 3.10^8 m/s).
Giả thuyết 1 phủ định sự tồn tại của một hệ qui chiếu quán tính đặc biệt ví dụ như một hệ qui chiếu đứng yên thật sự. Nói cách khác mọi hệ qui chiếu quán tính là hoàn toàn tương đương nhau. Từ tiên đề nầy các nhà khoa học khẳng định không thể tồn tại một môi trường ether truyền sóng điện từ (ánh sáng) với một vận tốc khác biệt các hệ qui chiếu khác.
Giả thuyết 2 xác nhận cho nhiều thí nghiệm (thí nghiệm Michelson, thí nghiệm sao đôi…) rằng vì vận tốc truyền ánh sáng là như nhau theo mọi phương nên không thể sử dụng công thức cộng vận tốc Galileo cho ánh sáng.
2. PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ
Khi xem xét các hiện tượng điện từ, nhà vật lý người Hà Lan Hendrik Lorentz (1853-1928) đã điều chỉnh phép biến đổi Galilée (xem nguyên lý tương đối Galilée – chương 2) sao cho phù hợp với tính bất biến của các phương trình Maxwell đối với các hệ quy chiếu quán tính. Chính Einstein đã biến phép biến đổi trên – còn gọi là phép biến đổi Lorentz, trở thành phép biến đổi hệ toạ độ cơ sở cho thuyết tương đối hẹp và dựa vào đó đưa ra những hệ quả nổi tiếng.
Xét hai hệ qui chiếu K và K’. Hệ qui chiếu K là một hệ qui chiếu quán tính đứng yên còn hệ qui chiếu K’ là hệ qui chiếu chuyển động thẳng đối với hệ qui chiếu K với vận tốc v0. Để cho đơn giản chúng ta giả thiết K’ chuyển động theo phương OX của hệ qui chiếu K. Giả sử tại thời điểm ban đầu, gốc O và O’ trùng nhau.
Xét một điểm M trong không gian, tọa độ của nó trong hai hệ qui chiếu là (x, y, z) và (x’, y’, z’). Lorentz đã dẫn ra mối quan hệ giữa chúng như sau :
với : 
Từ hệ thức trên trong trường hợp v0 rất nhỏ so với c, dễ dàng suy ra phép biến đổi cổ điển Galilée:
Hay nói cách khác, phép biến đổi Galilée là trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Lorentz.
Định luật cộng vận tốc
Gọi v là vận tốc của chất điểm đối với hệ K và v’ là vận tốc của chất điểm đối với hệ K’, từ biểu thức phép biến đổi Lorentz, ta có :
Từ hệ thức trên trong trường hợp v0 rất nhỏ so với c, dễ dàng suy ra phép cộng vận tốc cổ điển của cơ học Newton:
3. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz
Một trong những hệ quả quan trọng của lí thuyết tương đối hẹp là sự biến đổi của không gian và thời gian trong chuyển động, mà cụ thể là tính tương đối của sự đồng thời, sự co ngắn của độ dài, gia tăng khối lượng và sự trôi chậm của thời gian. Các biến đổi định tính này được dẫn ra như hệ quả của biến đổi Lorentz.a) Tính tương đối của sự đồng thời và quan hệ nhân quả
Giả sử có hai sự kiện (x1, t1) và (x2, t2) xảy ra đồng thời trong hệ O, t1=t2, ta thấy :
Như vậy hai sự kiện trên không xảy ra đồng thời trong hệ O’.
Tuy nhiên nếu sự kiện 1 xảy ra trước sự kiện 2 (t2-t1>0) , ta có :
với u là vận tốc xảy ra giữa hai sự kiện ; và theo quy ước mọi vận tốc của vật chất đều nhỏ hơn vận tốc ánh sáng.
b) Tính tương đối của không gian, khối lượng, thời gian
Hệ thức Lorentz cho biết nếu người quan sát đứng trong một hệ qui chiếu O bất kì và quan sát một vật trong một hệ qui chiếu O’ đang chuyển động so với bạn với vận tốc là v0 thì khi bạn quan sát vật thể đó, bạn sẽ thấy khối lượng m0, độ dài l0 theo phương chuyển động (khối lượng và độ dài của vật đo được khi vật đứng im so với người quan sát) biến đổi tới một giá trị khác m và l như sau:
Với 
luôn nhỏ hơn 1, nên ta thấy khi vật chuyển động so với ta, khối lượng của vật tăng lên so với khi vật đứng im còn chiều dài theo phương chuyển động của vật thì lại giảm đi.
luôn nhỏ hơn 1, nên ta thấy khi vật chuyển động so với ta, khối lượng của vật tăng lên so với khi vật đứng im còn chiều dài theo phương chuyển động của vật thì lại giảm đi.
Tức là người quan sát sẽ thấy khoảng thời gian giữa 2 sự kiện tại hệ B chuyển động so với người quan sát dài hơn khoảng thời gian đo được nếu người quan sát đứng trên hệ qui chiếu B (khi người quan sát đứng trên hệ qui chiếu B thì vật xét đến ở trên là đứng yên so với người quan sát).
Như vậy lí thuyết tương đối hẹp còn cho phép đưa ra một kết luận nhỏ nữa: khối lượng, độ dài và giá trị đo được của các khoảng thời gian cũng chỉ có tính tương đối, nó phụ thuộc vào vận tốc chuyển động.
Kết luận nhỏ trên có thể coi là một hệ quả của tính tương đối của không gian và thời gian. Bạn có thể dễ dàng nhận thấy nếu thay các giá trị của v vào hệ thức Lorentz nói trên thì với vận tốc rất nhỏ so với ánh sáng thì tỷ số v/c là khá nhỏ và bình phương của nó là một số rất nhỏ, việc này dẫn đến 1-v/c cũng như căn bậc 2 của nó rất gần với 1. Và do đó với các giá trị này thì có thể coi rằng độ dài, khối lượng và thời gian nói trên gần như không biến đổi. Và điều đó có nghĩa là các tính toán của cơ học cổ điển Newton vẫn đúng trong trường hợp vận tốc là nhỏ. Như vậy ta có thể coi cơ học cổ điển Newton là các phép tính gần đúng, và hoàn toàn có thể áp dụng trong đời sống hàng ngày. Các biến đổi của Lorentz chỉ là cần thiết với các vận tốc gần với vận tốc ánh sáng.
4. Những nghịch lý của thuyết tương đối:
Những hiện tượng cơ học trong trường hợp tốc độ chuyển động tương đối tính có nhiều nghịch lý. Điển hình là "nghịch lý anh em sinh đôi", một người là A và một người là B sinh cùng một ngày. Anh A là một nhà du hành vũ trụ, lái một con tàu vũ trụ bay tới thám hiểm sao Alpha Centauri, một trong những ngôi sao gần Trái đất nhất, trong chòm sao "Bán Nhân Mã" khoảng cách là 4 năm ánh sáng. Ánh sáng phát ra từ ngôi sao này với tốc độ 300 000 km/s phải mất 4 năm mới tới chúng ta. Tàu vũ trụ của anh A có tốc độ tuy cực lớn nhưng không thể bằng vận tốc ánh sáng. Thí dụ tốc độ tàu bằng 75% tốc độ ánh sáng (0,75c = 225000km/s). Với tốc độ này, tàu phải mất 5 năm 4 tháng mới tới đích. Anh A khi tới ngôi sao quay trở về ngay. Đối với anh B đợi ở nhà thì sau 10 năm 8 tháng mới gặp lại anh A. Nhưng theo đồng hồ anh A mang theo, thì cuộc hành trình khứ hồi của anh với tốc độ tương đối tính chỉ mất 7 năm. Tức là anh B ở lại trên Trái đất già hơn anh A gần 4 tuổi ! Đồng hồ anh A dường như quay chậm hơn đồng hồ anh B, cứ mỗi giờ chậm 20 phút. Nghịch lý "anh em sinh đôi" được giải thích bằng thuyét tương đối thu hẹp của Einstein. Khi tốc độ chuyển vận cao gần bằng tốc độ ánh sáng thì khoảng cách và thời gian hầu như "co" lại. Tốc độ của tàu vũ trụ càng lớn thì trên tàu, đồng hồ càng chạy chậm và thời gian đo bằng đồng hồ càng ngắn đi. Tuy nhiên, trường hợp tàu vũ trụ di chuyển với tốc độ tương tự tốc độ ánh sáng hãy còn trong phạm vi khoa học viễn tưởng. tốc độ trung bình của vệ tinh nhân tạo hiện nay chỉ là 8 km/s, rất thấp so với tốc độ ánh sáng. Sau một năm, đồng hồ trên vệ tinh chỉ chậm 0,01 giây so với đồng hồ trên mặt đất. Nếu tàu vũ trụ của anh A bay với tốc độ 8 km/s, thì phải mất 300 000 năm mới làm xong cuộc hành trình khứ hồi tới sao Alpha Centauri. Lúc trở lại trái đất, anh A chỉ trẻ hơn anh B có 50 phút, sau 300 nghìn năm xa cách. Nhưng trên thực tế, lúc đó hai anh em sinh đôi không còn sống để so sánh tuổi!
Một thí dụ cụ thể của sự thay đổi tương đối của thời gian là những hạt cơ bản "Muon" (tính chất giống electron nhưng khối lượng của nó lớn hơn electron cỡ 200 lần) của "tia vũ trụ". Thành phần của tia vũ trụ gồm nhiều hạt cơ bản trong đó có muon, poto (hạt nhân nguyên tử hydrogen) và các hạt nhân khác cùng electron. Những hạt này được tạo ra trong giải Ngân hà bởi những vụ nổ sao mới và sao siêu mới. Khi tia vũ trụ rơi xuống khí quyển Trái đất thì những hạt muon tự nhiên phân rã rất nhanh trong vài phần triệu giây, nên chúng chỉ tập trung ở những tầng khí quyển ở độ cao khoảng 10 km và không tới mặt đất được. Tuy nhiên trên thực tế các hạt muon vũ trụ vẫn phát hiện được trong phòng thí nghiệm. Bởi vì một số muon có vận tốc lớn, gần bằng tốc độ ánh sáng. Theo thuyết tương đối của Einstein, thời gian sống biểu kiến của những hạt muon đối với người dùng máy đo trong phòng thí nghiệm, tăng lên như trong "nghịch lý anh em sinh đôi". Vì vậy các hạt này có đủ thì giờ tới được mặt đất trước khi bị phân rã.
